- 初学者でも読める。大学数学(線形代数、微積分学)程度の知識を前提としてそれ以外は一から順に説明していることが望ましい。
- 式変形が丁寧。手元にノートを出すわけにもいかないので目で追って暗算できる程度に式の変形が簡単であるとよい。
- 記号、図やレイアウトが見やすい。添え字だらけの煩雑な記号はないほうがいいし、わかりやすい図は理解を助ける。定理、命題、注意、例題などが枠で分けられていたり、ハイライトがされていたりすると読んでいて目に優しい。
- 読み物として楽しい。数学書のステレオタイプとして定義、命題、定理の証明が淡々と並んでいるだけで何を目指しているのかわからないというものがある。そうでなくて、筆者の意図や小話、註などがふんだんに含まれていると、読書負担が少ない。
Kindle有
うっかり本を持ってき忘れてしまって、本屋に駆け込むも月並みなベストセラー本ばかり。待ち時間でなにも読むものがない。そんな時でも空港のFree WiFiにつないでKindle版で数学書を購入できる。Kindleの端末も設定からWiFiに接続できるので、購入した本をダウンロードできる。搭乗してしまうとWiFiにつながらなくなるので注意だ。念のため何冊もダウンロードしておこう。
数学書を購入するときの注意として、固定レイアウト形式なのか、プリント・レプリカ形式なのかをチェックすることが大事だ。後者の場合、Kindle Paperwhiteなどの電子書籍リーダーでは開くことはできないので、iPadなどのタブレットを持っていなければスマホのKindleアプリで読む羽目になる。
数学書を読むときの注意として、レイアウト設定の余白を狭めるをOffにするとよい。固定レイアウト型だと余白を狭める設定のときはページ下部が途切れてしまうことがある。著者の独り言のような註が読めなくなってしまうのはとてももったいない。
Kindleで読みやすい数学書の特徴として以下があげられる：別ページの図や数式を頻繁に引用しない。紙の本と違ってページめくりに大きな制約がかかっているのが電子書籍である。読んでいる最中に行ったり来たりしなくてはいけないとなると読書体験としては劣化する。例えば登場人物が数十人出てくる小説で人物同士の関係性をいちいち巻頭の表を参照しなくてはならない場合を思い浮かべてほしい。固定レイアウト形式ではハイライトも文字検索機能も使えないのでなおさらページの行き来を必要とするスタイルはマイナスである。
群と位相 横田 裳華房
物理でよく出てくる古典群（SO(n), SU(n)）や実・複素射影空間を実例に取り、群、位相空間、位相群を解説している。普通の位相空間論の教科書では具体例は載っていてもこれらすべてをカバーしていることは少ないので結局知りたいことが知れなくて物足りなく感じてしまいがちだ。本書のハイライトは4章の古典群と射影空間の基本群を求めるところだろう。
数学はとにかく抽象的で一般的になりがちだが、この本では具体的な例を挙げて各概念の説明がなされるので読んでいて地に足がついていられる。また前提知識なしで読めるので、概観をつかむためにとても役に立つ。各章はほどほどに独立しているので飛ばし読みでも全体の雰囲気を見失わずに読める。ただ現代的な教科書と違って著者の独り言のような注は少な目でやや淡々としている。レイアウトもちょっとみにくい。同著者の『位相幾何学から射影幾何学へ』(現代数学社)、『やさしい位相幾何学のはなし』(現代数学社 PDF版あり)は図を多用し平易な語り口で入門的な内容を扱っているのでこれもよい。一方、姉妹書の『群と表現』は多元環の導入でピンとこなかったので代数学の平易な入門書を探した方がよさそうだ。
●目次
1 射影空間と古典群の定義
2 射影空間と古典群の位相
3 射影空間と古典群の胞体分割
4 射影空間と古典群の基本群と被覆空間
基本群と被覆空間 佐藤 裳華房
物理学徒目線ではタイトル的にパッとしないので初学者がこの本を見つけても手に伸ばすことが少ないであろうことが非常にもったいない。レイアウトが秀逸なので読んでいて負担が少なく、現代的な教科書っぽく、概念を導入するときのこころや要するに何がしたいかとか、註が豊富なので読んでいて飽きない。個人的には位相空間論の説明が分かりやすくてよかった。はじめににある通り1-2章をある程度軽快に読み進められることを想定して書かれているので1冊の本のレベル設定としては高めになってしまうのだが、初学者は1-2章を読みこめば、3章以降への足取りが重くなってしまったとしてもよい勉強になるわけである。実際1-3章をざっと読んだが、タイトルにある基本群(4章)と被覆空間(5章)は本書のメインテーマにもかかわらずまだちゃんと読めていないので、いつかたどり着きたい。いや、専門家になるわけではないのでたどり着く必要はないのだが。
●目次
1．位相空間論
2．群
3．いろいろな位相空間
4．基本群
5．被覆空間
6．組みひも群
具体例から学ぶ多様体 藤岡 裳華房
多様体は定義だけ読むとなんだそういうものかとわかったような感じになってしまうが、実際どうやって構築するのかは具体例にもとづいて自分で計算してみないとよくわからない。位相空間論、多様体論で必要になってくる概念を具体例を通して解説していく形式になっている。普通の教科書では一般化しすぎて抽象的になりすぎな概念もイメージしやすくなるよう配慮されていてよい。またレイアウトがきれいで読みやすい。一方、数式が多めなので暗算に不慣れな場合は飛行機の座席で読むにはやや不向き。
●目次
第I部 ユークリッド空間内の図形
1．数直線 R
2．複素数平面 C
3．単位円 S1
4．楕円 E
5．双曲線 H
6．単位球面 S2
7．固有2次曲面
第II部 多様体論の基礎
8．実射影空間 RPn
9．実一般線形群 GL(n,R)
10．トーラス T2
11．余接束 T*M
12．複素射影空間 CPn
代数トポロジーの基礎 和久井 近代科学社
とりあえず3章だけ読んだがホモロジーの説明が分かりやすくてよかった。ほかの本では簡潔かつ抽象的過ぎて何のことやら頭に入ってこなかったが、本書では一歩一歩着実に説明がされていて理解できた。レイアウトも見やすいし、具体例も豊富だ。演習問題が多めだが、解答が巻末にあるためKindleでは可読性が悪い。ただし解答は丁寧だ。別の機会にちゃんとやろう。
【目次】
第1章 位相空間論
第2章 基本群
第3章 ホモロジー群
Kindle無
微分幾何入門 佐古 森北出版 (電子版あり)
微分幾何の教科書を読んでいるといつも押し出し・引き戻しでこんがらがり、接ベクトルのなぞの微分記号を使った定義で違和感を覚え、ファイバーバンドルのまどろっこしさに嫌気がさして読むのをやめてしまう。この本は現代的な教科書なのでなぜそういう概念を導入したいのか、何をしようとしているのかが丁寧に書かれているので、ついていくことができる。逆に言うと筆者の言っていることを順に鵜呑みにしていくだけで読み進めていけるところが脳への負担が少なくてよい。接続の微分幾何とゲージ理論(小林 裳華房)や理論物理のための 微分幾何学(杉田・岡本・関根)よりずっと読みやすい、飛行機の座席では。
アマゾンレビューをよむと不正確な記述があると指摘されているが、初学者がイメージをつかみやすくするために厳密性を犠牲にしているのかもしれない。いずれにしても初学者にはそれはわからないので気にせず読んでよいだろう。だんだんと理解が進んできて記述の不十分さに気づくようになってきたら、より専門的な本を読み始めるいい機会だと思う。
個人的にはファイバー束の説明くらいからだんだんなにが書いてあるのかわからなくなった。これは結局自分の多様体論に関しての理解が不十分であることから来ているのだが、それに加えて記述のラフさもこのあたりから目立ち始めるようだ。さらっと読んでしまうとなんとなく納得しそうになってしまうが、もう一歩進んだ理解を目指すならちゃんとした数学の本を読んだ方がいいのだろう。
第1章 多様体
第2章 微分形式
第3章 リー微分とリー群
第4章 ファイバー束
第5章 主束
第6章 ゲージ理論
第7章 リーマン幾何
第8章 一般相対性理論
これからの集合と位相 梅原・一木 裳華房
物理をやるならカタカナの”トポロジー”だとかリーマン幾何学だとかを考えがちだ。そういうのを目指してタイトルが関係ありそうなちょっとアドバンストな数学書に手を出すと多様体論とか群論、位相空間論の知識が足りないのであえなく撃沈してしまう。そんな経験はないだろうか？そんなの必要ないとすっぱり諦めてしまってもいいが、これ一冊と思って丹念に読んでみるとだんだん好きになってくる。どうせ機内でやることもないのだから、集合の濃度だとかツォルンの補題だとかじっくり読んでみるのはどうだろうか。裳華房出版社note: https://note.com/shokabo/n/n153bc1749eb2
I．集合と写像
II．集合の濃度
III．ツォルンの補題とその応用
IV．ユークリッド空間から距離空間へ
V．位相空間
VI．分離公理・連結性・コンパクト性
VII．距離空間の完備性
付録
幾何学と代数系 金谷 森北出版
代数幾何学という教科書を読むとスキーム？物理と何の関係があるんだ？と思うような抽象的な概念が出てきて目を回してしまう。この本は代数幾何学の本ではないので安心してほしい。幾何学的代数(Geometric Algebra)という全く別の分野で、四元数、グラスマン数、クリフォード代数を扱っている。議論を3次元に限定しているし最後にはカメラの幾何学が議論される。直観を大事にする物理ととても相性が良い。ハードカバーである点は注意。
第1章 序論
第2章 代数的記述による3次元幾何学
第3章 斜交座標
第4章 ハミルトンの四元数代数
第5章 グラスマンの外積代数
第6章 幾何学積とクリフォード代数
第7章 同次空間とグラスマン-ケイリー代数
第8章 共形空間と共形幾何学―幾何学的代数―
第9章 カメラの幾何学と共形変換
微分幾何学とトポロジー 永長 丸善
同著者のほかの著書と同じで羅列形式で書かれた微分幾何や代数トポロジーの用語・定義解説ノートである。『理論物理学のための幾何学とトポロジー』(中原 日本評論社)を10倍に薄めたものと考えるとよいだろう。物理学者が書いているので物理に関係がある概念がコンパクトにまとまっている。一方で説明を簡潔にしようとするあまり、記号の定義などが欠落していることが多々あり、ときおり説明として意味をなしていない箇所がある。また数学概念の定義は(細かいことを言うと)間違っているもしくは不正確であるところがある。物理学のセンスではそんなの当り前だからいちいち断らないよということを省略しているとみるべきだが、だとすると数学を勉強できるぞと期待して記述を読み込もうとすると徒労に終わるだろう。まじめにフォローするに耐えられるつくりにはなっていないことに注意しないといけない。時々読み返してみてこの本の内容をどれくらい知っているかをチェックするのに使うとよさそうだ。
内容の難易度と記述のスタイルとしては『微分・位相幾何』(和達 三樹 岩波)と重複するところが多い。このことは巻末にもそう書いてある。数学的にどこまで厳密かに関してはどっちもどっちといったところだが、和達本の方が数学用語の誤用はないものと思われる。一方でMorse理論やカタストロフィ理論は永長本の特徴だろう。
１ 微分形式
２ 曲線と曲面の微分幾何学
３ 多様体
４ 多様体と積分
５ ホモロジーとコホモロジー
６ ファイバー束と特性類
７ 指数定理とMorse理論
８ ホモトピー理論
９ カタストロフィー理論
はじめて学ぶリー群 井ノ口 現代数学社
第I部 リー群とリー環の芽生え
第1章 平面の回転群
第2章 平面の合同変換群
第3章 曲線の合同定理
第II部 線型リー群
第4章 一般線型群と特殊線型群
第5章 リー群論のための線型代数
第6章 直交群とローレンツ群
第7章 ユニタリ群
第8章 シンプレクティック群
第9章 行列の指数函数
第10章 リー群からリー環へ
第III部 3 次元リー群の幾何
第11章 群とその作用
第12章 3 次元幾何学
附録
もっとライトな数学書
数学の抽象的な概念の洪水で消耗してしまった。ダウンロードした本がはずれだった。到着まであと10時間強、座席のタッチパネルが壊れていて映画を見るわけにもいかない。そんな不測の事態に備えて、ライトに読める数学書も多めにダウンロードしておこう。
群と幾何を見る 正井 日本評論社
Kindleデバイスと互換性がない。基本群、被覆空間の説明がよい。
Math without numbers Beckman Dutton
数学の専門書を英語で読みたいとは思わないが、一般向けなら問題ないだろう。
数学の世界地図 古賀 KADOKAWA
どの数学分野の本を読もうか迷っていた時に数学の全体像を知るのによかった。本ブログで紹介している本はほとんど幾何学に関係しているがそれ以外にもいろいろな分野があることが分かる。自分の興味のあるトピックを探すのによいだろう。
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ー数学の基礎として根づくまでの歴史 藤田 技術評論社
物理学徒が数学を学びたくなったとしても集合と位相はなんとなく飛ばしたくなりがちだ。この概念がなんで必要なのか動機づけがわかれば学ぶ意欲につながりもするだろう。
敷居が高かった本
スピン幾何学 本間 森北出版
クリフォード代数の導入から入る。初学者には敷居が高い。
【目次】
第1章 クリフォード代数
第2章 スピノール表現
第3章 ベクトル束とスピン構造
第4章 接続と共変微分
第5章 ディラック作用素
第6章 幾何学で現れるディラック作用素とその応用
第7章 いろいろなスピノール
第8章 分類定理
付録
リー代数と素粒子論 竹内 裳華房
リー代数を勉強するには書き方が難しめ。もう少し平易な本を読んでから再読しようか。素粒子論の話は最終章に出てくるだけなので、物理とリー代数のつながりを知りたいならもっと別の本がありそうだ。
1．線形リー群と線形リー代数
2．単純リー代数と半単純リー代数
3．複素半単純線形リー代数の表現
4．具体的な表現
5．大統一理論
具体例からの表現論入門 平井 日本評論社
プリントレプリカ形式。量子力学などへの応用が議論されていてよい。
【目次】
第１章 群とその作用
第２章 群の作用と群の線形表現
第３章 回転群の表現とその量子力学への応用
第４章 SO(3), SU(2) およびそのリー環の表現
第５章 有限次元表現から無限次元表現へ
第６章 上半平面・単位円板での分数変換と保型関数・保型形式
幾何学と不変量 西山 日本評論社
プリントレプリカ形式。
目次
■第１部 群と不変式
第1章 群とは何か──群の速成コース
第2章 正多面体群と方程式
第3章 群の表現と不変式
■第２部 平面上の幾何学と変換群
第4章 平面の合同変換と不変式
第5章 平面上のアフィン変換とアフィン幾何
第6章 実射影平面
■第３部 商空間の幾何
第7章 軌道空間と商位相
第8章 軌道空間の幾何的構造
■第４部 複素射影空間の幾何学
第9章 射影変換と不変量
第10章 射影空間とグラスマン多様体
附録：集合と写像
計量微分幾何学 松本 裳華房
計量の話は数式が多用されるので手を動かして自分で確認しながら読み進めないとなんもわからない。こういう本は飛行機には向いていない。ただ、随所に出てくる小話は読んでいて興味深い。リーマンの講演を引用したり、歴史的経緯を説明しながら諸概念が導入されていく。整理された今風の教科書を読むより概念導入の意義がつかみやすいのではないだろうか。
●目次
1．ユークリッド平面の座標と計量
2．曲面の計量と曲率
3．リーマン計量
4．種々の一般計量
5．フィンスラー幾何学
現代微分幾何入門 野水 裳華房
第一章が微分可能多様体の基礎事項の確認から入る。概念導入の際の動機付けがほぼないので初学者がついていくのにはだいぶ敷居が高い。
●目次
1．多様体
2．接続の理論
3．線形接続
4．リーマン幾何学
5．ローレンツ幾何学
幾何概論 村上 裳華房
群と位相に関して既知として第一章に簡単なまとめがある。全体的に淡々と進むので初学者には敷居が高かった。
●目次
1．群と位相
2．古典幾何の空間
3．基本群と被覆空間
4．ホモロジー群
5．多様体の幾何
群と表現 横田 裳華房
同著者の『群と位相』がよかったので本書も読んでみたが1章の準備だけで初見の抽象的な概念が大量に出てきて読み進めるのが困難になってしまった。初学者には敷居が高い。
1．準備
2．群の表現
3．表現環
4．古典群の表現環
5．例外群 G2，F4 の表現環
古典群: 不変式と表現 ワイル シュプリンガー・ジャパン
古典的な名著とのことだが、説明が丁寧なわけではないので初学者向けではない。機内に持ち込んでも読み進めることは難しい。
第１章 序論
第２章 ベクトル不変式
第３章 行列代数と群環
第４章 対称群と全線形群
第５章 直交群
第６章 シンプレクティック群
第７章 指標
第８章 不変式の一般理論
第９章 行列代数再論
第10章 補遺
接続の微分幾何とゲージ理論 小林 裳華房
第1章1節を読めばわかるように多様体の基礎は既知とし、ベクトル束の定義から始まる。初学者に一切配慮する気がないすがすがしいまでのぶっ飛ばしっぷりである。
●目次
1．多様体
2．接続
3．リーマン幾何
4．特性類
5．Yang-Millsの接続
6．4次元多様体上のYang-Mills接続
理論物理のための 現代幾何学 秦泉寺 裳華房
徹底的に物理学科4年生のために書いているところが面白い構成だ。学生がタイトルの内容に関して講義を受けているリアル感が表現されていてよい。位相や多様体など、物理学徒が避けたくなってしまうような抽象的な数学をなぜ勉強しないといけないかが、具体例と著者の体験を混ぜながら根気よく説明されている。ガチの数学書を読み始める前にあるいは読んでいて嫌気がさしたときに該当箇所を読んでみるとモチベが復活するだろう。読み物としてとっても楽しく読めたのだが、数式多めでハードカバーなので飛行機では読みにくい。
1．一般位相：直観を論理に乗せる作業
2．多様体
3．多様体のトポロジー
4．リーマン幾何学と一般相対論
5．リー群の大域的構造とリー環
6．附録：線形代数についての補足
手を動かしてまなぶ群論 原 裳華房
信じられないくらいレイアウトに工夫をして書かれた本である。いったいどれほどの代償を払えばこれほどの完成度を得られるのか。第一章が初等的な整数論から始まっているのはタイトルからは予想できなかった。しかしそこから始めなければ、地に足の着いた理解はできないという意図なのだろう。普通のよくわからない群論の教科書は群の定義を与えて、例を2-3与えたあとは抽象論が繰り広げられて訳が分からないくなる。そういうのとは一味違うようだ。とはいえ読書をするというより高校受験の参考書を読んでいるような感覚になる。読み手にもう少し自由度を与えてもいいのではないだろうか。ある程度群論を知っている立場から読むとそうとうやかましい作りだと思う。ただし大事なところは太字になっているし章立ては秩序立っているので、読みたいところを見つけ出すのはそんなに苦労しないだろう。タイトル通り手を動かしながら読み進めるための構成になっているので飛行機で読むのは適さない。
1．整数とその性質
2．群と準同型写像
3．群の剰余類分割と準同型定理
4．群の作用と軌道分解
5．有限群の構造
曲率とトポロジー 河野 東京大学出版会
プリントレプリカ形式。数式の行間がじんわり広くて読み進めるのがしんどかった。図もレイアウトもきれいなのに自分でもなぜ読み進められないのかよくわからない。
はじめに
序 章
第1章 曲線の曲率
第2章 曲面の計量と曲率
第3章 曲面上の幾何学
第4章 平面幾何から非ユークリッド幾何学へ
第5章 双曲幾何学
第6章 変換群と時空の幾何学
第7章 多様体への入門
第8章 多様体上の微分形式
第9章 接続と共変微分
第10章 多様体の曲率テンソル
第11章 トポロジーと幾何構造
第12章 宇宙空間の幾何学に向けて
付録
多様体入門 松島 裳華房
旧版で読んだ。段落の1文字下げくらいしかレイアウトの工夫がないのでとても読みにくい。新装版でも文字が多少大きくなっているくらいで改善は見られない。それを抜きにしても初学者が読むために書かれているとは言えない。各概念・定義等導入の動機や意義は皆無なので、事実の羅列である。内容が高度だとか難易度が高いとかの評価を聞くが、単に筆者が知らない人向けに説明することに関して手を抜いていると言った方が正確だろう。別の本で勉強して多様体がよくわかってから自分の理解を確かめるために読むような類の本であるが、だとしたらこの本を必要としている人は極めて限定的である。
1．序論
2．可微分多様体
3．微分形式とテンソル場
4．リイ群と等質空間
5．微分形式の積分とその応用
代数学1---群論入門 雪江 日本評論社
プリントレプリカ形式。演習解答に誤答例がのっているのがユニークだ。演習問題を多くのせることを目指したと書いてある通り、読者に考えさせながら読ませる工夫がなされている。そのためじんわり行間が広いことが多く、この言葉や記号の定義は何だっけ？とか、○○なので○○と書かれているがなんでそんなことが言えるんだ？とかつっかがりながら読み進めることになる。勉強になるのだが飛行機で読むには不向き。
第1章 集合論
第2章 群の基本
第3章 群を学ぶ理由
第4章 群の作用とシローの定理
