群と位相（横田）メモ

等号

\(\approx\): 集合として同型. 二つの集合X, Yのあいだに全単射\(f:X\rightarrow Y\)が存在する, p2

\(\cong\): 群として同型. 準同型写像が全単射, p15

\(\simeq\)(下線が太字): 距離空間として同型. 距離空間X, Yの間に等距離写像（\(f: X\rightarrow Y\): d(f(x),f(x'))=d(x,x')）が存在する, p61, 当ブログでは\(\simeq'\)

\(\simeq\): 位相空間として同型（同相）.二つの位相空間X, Yのあいだに全単射\(f\)が存在し、\(f,f^{-1}\)がともに連続である, p71

\(\cong\)(最下線が太字): 位相群として同型. 位相群G, G'の間に群として同型な同相写像\(f: G\rightarrow G'\)が存在する, p87, 当ブログでは\(\cong'\)

\(=\): ファイバー空間\((B,p,X,F)\)であるとき、\(B/F=X\). B, X, F, pはそれぞれ全空間、底空間、ファイバー、射影, p176

\(\equiv\): 主ファイバー束: \(B/G\equiv X\), p183

括弧

\([ a ]\): 元\(a(\in A\subset X)\)を含む類. 集合Xの元aが類Aに含まれるとき、\(A=[a]\)とあらわす, p4

\(\|x\|=\sqrt{(x,x)}\): ここで\(x\in V\)はK-右加群Vの元, ( , )は内積, p42

\((\mathbf{x},\mathbf{y})=\bar{x}_1y_1+...+\bar{x}_ny_n\): \(\mathbf{x},\mathbf{y}\)は\(K^n\)の元で、KはR, C, Hのどれか, p43

\((A,B)=\sum_{i,j}\bar{a}_{ij}b_{ij}\): \(A,B\)は\(M(n,K)\)の二つの元, p43

演算記号

\(X/\sim\): 関係\(\sim\)による集合Xの等化集合（商集合）, p5

\(G/H\): 群Gとその部分群Hについて、\(x\sim y\iff x^{-1}y\in H\)で同値関係\(\sim\)を定めたときの等化集合\(G/\sim\). GのHによる等質集合, p18

\(u\cdot v\): \(x_0, x_1\)を結ぶ道uと\(x_1, x_2\)を結ぶ道vをつないでできる\(x_0, x_2\)を結ぶ道, p82

\(\bar{u}\): 道uの始点と終点をひっくり返した道, p 82

\(X/\sim\): 位相空間Xにおいて同値関係\(\sim\)があるとき、等化位相が入る。位相空間\(X/\sim\)は等化空間, p94

\(G/H\): 位相群Gとその部分群Hについて、等質集合\(G/H\)に等化位相を入れた位相空間. 等質空間(位相群になるとは限らない), p94

\(X/A\) (\(/\)は太字): 位相空間Xと部分集合Aがあるとき、\(x\sim y\iff x=y or x, y \in A\)で同値関係を定め、Xの等化空間として\(X/\sim=X/A\)と書く(Aを一点に縮めた空間), p98

\(X/G\): 位相群Gが位相空間Xに右より働いているとき、\(x\sim y \iff y=xg\)となる\(g\in G\)が存在することで同値関係を定め、等化空間\(X/\sim=X/G\)と書いて軌道空間と呼ぶ, p108

\(0_{x}=0\): 位相空間の一点xから動かない道, p 193

アルファベット

\(Aut(K)\): 体Kの自己同型群, p128

\(C^*=C-\{0\}\): Cから原点を除いたもの, p31

\(d=d(K)\): 体KのR上ベクトル空間としての次元: \(d(R)=1, d(C)=2, d(H)=4, d(oct)=8\), p26

\(e\): 位相空間Xのn次元胞体. \(e\subset X\)に対して同相写像\(\phi\): \(E^n\rightarrow e\)

\(E_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), p55

\(\mathbf{e}_1\): \(K^n\)において\(\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0  \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_n\)も同様, p38

\(GL(n,K)=\{A\in M(n,K)\mid \text{det}A\neq 0\}\): 体K上の一般線形群. \(K=\mathbf{H}\)のときは正則に言い換える, p28

\(K^n\): Kの元を成分に持つn次元ベクトル全体の集合, p34

\(KP_{n-1}=(K^n-{0}/\sim)\): 集合\(K^n-\{0\}\)の同値関係\(\sim\)による等化集合. ここで\(\sim\)は\(\mathbf{x}\sim\mathbf{y}\iff \mathbf{y}=\mathbf{x}\lambda\)を満たす\(\lambda \in K\)が存在する。\(KP_{n-1}\)を体K上のn-1次元射影空間という。p58

\(KP(n-1)=\{ X\in M(n,K)\mid X^*=X, X^2=X, \text{tr}(X)=1 \}\): 体K上のn-1次元射影空間。\(KP_{n-1}\)とは集合として同型（同相の証明はp100）, p58

\(G(n,K)\): 体Kに応じて\(O(n), U(n), Sp(n)\), p29

\(R^*=R-\{0\}\): Rから原点を除いたもの, p31

\(R^+=\{x\in R\mid x>0\}\): 正の実数, p87

\(S^0\) = {-1, 1}. 二つの整数1, -1からなる集合, p2

\(S^1\): 原点を中心とする半径１の円, p3

\(S^n=\{(x_1,...,x_n)|x_1^2+...+x_n^2=1\}\): 単位球面, p7

\(S_K^{n-1}=\{\mathbf{a}\in K^n \mid \|\mathbf{a}\|=1\}\): \(K^n\)における\(d(K)n-1\)次元単位球面, p46

\(S_d=\{ (\xi,x)\in R\times K\mid \xi(\xi-1)=|x|^2\}\): KP(1)およびd(K)次元球面\(S^d\)と集合として同型, p58

\(SG(n,K)\): 体\(K=\mathbf{R}, \mathbf{C}\)に応じて\(SO(n), SU(n)\), p29

\(SL(n,K)=\{A\in M(n,K)\mid \text{det}A=1\}\): 体K上の特殊線形群. \(K=\mathbf{H}\)のときは行列式が定義できないので、定義しない, p28

\(V^n=V_{\mathbf{R}}^n\): n次元単位閉胞体, p132

\(V_{K}^n=\{ \mathbf{x}\in K\mid \|x\|\leq 1\}\), p132

\(\pi_1(X,x_0)=\Omega(X,x_0)/\sim\): \(x_0\)を基点とする基本群, p 195

\(\pi_1(X))\): 位相空間Xが弧状連結なら基点が異なる基本群同士に群同型が定義できるので基点を省略する, p 196

\(\Omega(X;x_0,x_1)\): 位相空間Xにおいて\(x_0,x_1\)を結ぶ道全体の集合, p 193

\(\Omega(X;x_0)=\Omega(X;x_0,x_0)\): \(x_0\)における閉道, p 195

群の例

\(\mathbf{Z}_2\): 0, 1からなる集合、和(ただし、\(1+1=0\))に関して加群, p14

\(\mathbf{Z}, \mathbf{R}, \mathbf{C}\): 和に関して加群, p14

\(S^0\): 積に関して, p14

\(\mathbf{R}^*, \mathbf{R}^+, \mathbf{C}^*\): 積に関して, p14

\(S^1=\{x\in \mathbf{C}\mid |x|=1\}\): 複素数の積に関して, p14

\(S^3=\{x\in \mathbf{H}\mid |x| =1\}\): 四元数の積に関して\(|xy|=|x||y|\) (p24)なので, p30

\(Aut(\mathbf{R})=\{1\}\): p128

位相群の例

\(S^0, S^1, S^3=S_K^0=S^{d-1}\): 積に関して, p87, 例96, p105

\(R\): 和に関して, p87, 例97

\(R^+\): 積に関して, p87, 例97

\(GL(n,K)\): 行列の積に関して, p89

\(SL(n,R), SL(n,C), O(n), U(n), Sp(n), SO(n), SU(n)\): 行列の積に関して, p89

同型の例(何の写像によってかは省略)

\(O(1)=S^0\): そのもの, p29

\(SO(2)\cong S^1\): 群として同型, p30

\(U(1)\cong S^1\): 群として同型, p30

\(Sp(1)\cong S^3=SU(2)\): 群として同型, p 30

\(G(1,K)=O(1) or U(1) or Sp(1) = S_K^0\), p29-30, 

\(GL(1,\mathbf{R})\cong \mathbf{R}^*\cong S^0\times \mathbf{R}\): 群として同型, p31

\(GL(1,\mathbf{C})\cong \mathbf{C}^*\cong S^1\times \mathbf{R}\): 群として同型, p31

\(GL(n,\mathbf{RorC})/SL(n,\mathbf{RorC})\cong \mathbf{R}^*or\mathbf{C}^*\): ここで写像det: \(GL(n,K)\rightarrow K^*\)で群としての同型を誘導している, p32

\(G(n,K)/SG(n,K)\cong S_K^0\): ここでもdetで群としての同型を誘導する, p33

\(G(V)\cong G(n,K)\): 群として同型. ここで\(V\)は内積をもつn次元K-右加群、\(G(V)\)はVの元同士の内積を保つK-同型写像の集合. 例えば\(V=\mathbf{R}, \mathbf{C},\mathbf{H}\)なので、\(O(\mathbf{H})\)などと書く(p108,p128), p45

\(S_R^{n-1}\approx S^{n-1}\), \(S_C^{n-1}\approx S^{2n-1}\), \(S_H^{n-1}\approx S^{4n-1}\), \(S_R^0\approx S^0\), \(S_C^0\approx S^1\), \(S_H^0\approx S^3\), \(S_K^0 \approx S^{d(K)-1}\): 集合として同型, p47

\(O(K)\cong O(d(K))\): 群として同型, p46

\(O(\mathbf{H}_0)\cong O(3)\): 群として同型. ここで\(\mathbf{H}_0\)は実部がゼロの四元数, p46

\(R\cong'R^+\): 位相群として同型, p87

\(G(n,K)/SG(n,K)\cong ' S_K^0\): 位相群として同型. ここで連続な全射準同型写像detで位相群としての同型を誘導している, p95

\(\mathbf{R}/\mathbf{Z}\cong'S^1\): 位相群として同型, p96

\(GL(n,K)/SL(n,K)\cong' K^*\): 位相群として同型. 連続な全射準同型写像detで誘導している, p97

\(S^{d(K)n-1}/\sim \simeq KP_{n-1}\): 同相. ここで\(\mathbf{x}\sim \mathbf{y}\iff \mathbf{y}=\mathbf{x}a\)となる\(a\in K\) (\(|a|=1\))が存在する, p100

\(KP_{n-1}\simeq KP(n-1)\): 同相, p101

\(G(n,K)/G(n-1,K)\simeq S_K^{n-1}\): 同相, p104

\(SG(n,K)/SG(n-1,K)\simeq (\cong') S_K^{n-1}\): 同相, 群としての同型も示されているので位相群としても同型, p105

\(SO(2)\simeq S^1, SU(2)\simeq (\cong') S^3\): 同相, 同上, p105

\(G(n)/(G(n-1)\times G(1,K))\simeq KP(n-1)\): 同相, p105

\(G(n,K)\simeq S_K^0\times SG(n,K)\): 同相, 位相群としては同型ではない, p107

\(S_K^{n-1}/S_K^0\simeq KP_{n-1}\): 同相, p110

\(\mathbf{R}P(1)\simeq SO(2)\): 同相, p127

\(Aut(\mathbf{C})\cong S^0\): 群として同型, p128

\(Aut(\mathbf{H})\cong SO(3)\): 群として同型, p131

\(SO(3)\simeq \mathbf{R}P(3)\): 同相, p131

\(S^3/S^0\cong' SO(3)\): 位相群として同型, p131